2025年9月 GESP C++ 8级

小杨想点一杯奶茶外卖，但还差 $5$ 元起送。于是，小杨决定点一些小料。可选的小料包括：珍珠 $1$ 元、椰果 $2$ 元、奶冻 $3$ 元、奶盖 $4$ 元。每种小料最多点 $1$ 份。请问共有多少种满足起送条件的点小料方案？（ ）。

小杨和小刘是好朋友，她们在逛商场时发现新设置的大头贴自拍机，于是决定一起拍一组照片。一组照片包括 $4$ 张，这 $4$ 张照片没有顺序区分。拍每张照片时，可以选择有相框或无相框、两人可以分别选择有头饰或无头饰、还可以从 $2$ 种位置（小杨在左，或小刘在左）中选出一种。她们不希望一组照片中出现完全相同的相框、头饰、位置的组合。请问一组照片共有多少种不同的方案？（ ）。

下列关于 C++ 类的说法，错误的是（ ）。

下列关于树和图的说法，错误的是（ ）。

一对夫妻生男生女的概率相同。这对夫妻希望儿女双全。请问这对夫妻生下三个孩子时，实现儿女双全的概率是多少？（ ）。

二项式 (x+2)6(x + 2)^6(x+2)6 的展开式中 x4x^4x4 项的系数是（ ）。

对一个包含 $n$ 个顶点、$m$ 条边的图，执行广度优先搜索，其最优时间复杂度是（ ）。

以下关于贪心法和动态规划的说法中，错误的是（ ）。

下面程序的输出为（ ）。

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int N = 15, cnt = 0;
    for (int x = 1; x + x + x <= N; x++)
        for (int y = x; x + y + y <= N; y++)
            for (int z = y; x + y + z <= N; z++)
                cnt++;
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

下面程序的时间复杂度为（ ）。

int primes[MAXP], num = 0;
bool isPrime[MAXN] = {false};
void sieve() {
    for (int n = 2; n <= MAXN; n++) {
        if (!isPrime[n])
            primes[num++] = n;
        for (int i = 0; i < num && n * primes[i] <= MAXN; i++) {
            isPrime[n * primes[i]] = true;
            if (n % primes[i] == 0)
                break;
        }
    }
}

下列 Dijkstra 算法，假设图中顶点数 $N$ 、边数 $M$ ，则程序的时间复杂度为（ ）。

typedef struct Edge {
    int in, out; // 从下标in顶点到下标out顶点的边
    int len; // 边长度
    struct Edge * next;
} Edge;
// v：顶点个数，graph：出边邻接表，start：起点下标，dis：输出每个顶点的最短距离
void dijkstra(int v, Edge * graph[], int start, int * dis) {
    const int MAX_DIS = 0x7fffff;
    for (int i = 0; i < v; i++)
        dis[i] = MAX_DIS;
    dis[start] = 0;
    int * visited = new int[v];
    for (int i = 0; i < v; i++)
        visited[i] = 0;
    visited[start] = 1;
    for (int t = 0; ; t++) {
        int min = MAX_DIS, minv = -1;
        for (int i = 0; i < v; i++) {
            if (visited[i] == 0 && min > dis[i]) {
                min = dis[i];
                minv = i;
            }
        }
        if (minv < 0)
            break;
        visited[minv] = 1;
        for (Edge * e = graph[minv]; e != NULL; e = e->next)
            if (dis[e->out] > e->len)
                dis[e->out] = e->len;
    }
    delete[] visited;
}

下面 count_triple 函数的时间复杂度为( )。

int gcd(int m, int n) {
    if (m == 0) return n;
    return gcd(n % m, m);
}
int count_triple(int n) {
    int cnt = 0;
    for (int v = 1; v * v * 4 <= n; v++)
        for (int u = v + 1; u * (u + v) * 2 <= n; u += 2)
            if (gcd(u, v) == 1) {
                int a = u * u - v * v;
                int b = u * v * 2;
                int c = u * u + v * v;
                cnt += n / (a + b + c);
            }
    return cnt;
}

下面 merge_sort 函数试图实现归并排序算法，横线处应该填入的是（ ）。

#include <vector>
using namespace std;
void merge_sort(vector<int> & arr, int left, int right) {
    if (right - left <= 1)
        return;
    int mid = (left + right) / 2;
    merge_sort(________); // 在此处填入选项
    merge_sort(________); // 在此处填入选项
    vector<int> temp(right - left);
    int i = left, j = mid, k = 0;
    while (i < mid && j < right)
        if (arr[i] <= arr[j])
            temp[k++] = arr[i++];
        else
            temp[k++] = arr[j++];
    while (i < mid)
        temp[k++] = arr[i++];
    while (j < right)
        temp[k++] = arr[j++];
    for (i = left, k = 0; i < right; ++i, ++k)
        arr[i] = temp[k];
}

下面 Prim 算法程序中，横线处应该填入的是（ ）。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int prim(vector<vector<int>> & graph, int n) {
    vector<int> key(n, INT_MAX);
    vector<int> parent(n, -1);
    key[0] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int u = min_element(key.begin(), key.end()) - key.begin();
        if (key[u] == INT_MAX)
            break;
        for (int v = 0; v < n; v++) {
            if (__________) { // 在此处填入选项
                key[v] = graph[u][v];
                parent[v] = u;
            }
        }
    }
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (parent[i] != -1) {
            cout << "Edge: " << parent[i] << " - " << i << " Weight: " << key[i] << endl;
            sum += key[i];
        }
    }
    return sum;
}
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<vector<int>> graph(n, vector<int>(n, 0));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        graph[u][v] = w;
        graph[v][u] = w;
    }
    int result = prim(graph, n);
    cout << "Total weight of the minimum spanning tree: " << result << endl;
    return 0;
}

下面的程序使用出边邻接表表达的带权无向图，则从顶点 $0$ 到顶点 $3$ 的最短距离为（ ）。

#include <vector>
using namespace std;
class Edge {
    public:
    int dest;
    int weight;
    Edge(int d, int w) : dest(d), weight(w) {}
};
class Graph {
    private:
    int num_vertex;
    vector<vector<Edge>> vve;
    public:
    Graph(int v) : num_vertex(v), vve(v) {}
    void addEdge(int s, int d, int w) {
        vve[s].emplace_back(d, w);
        vve[d].emplace_back(s, w);
    }
};
int main() {
    Graph g(4);
    g.addEdge(0, 1, 8);
    g.addEdge(0, 2, 5);
    g.addEdge(1, 2, 1);
    g.addEdge(1, 3, 3);
    g.addEdge(2, 3, 7);
    return 0;
}

C++ 语言中，表达式 '9' ^ 3 的结果值为 '999'。

下列 C++ 语⾔代码，能够安全地输出 arr[5] 的值。

int n = 5;
int arr[n] = {1, 2, 3};
std::cout << arr[5];

对 $n$ 个元素的数组进行排序，最差情况的时间复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2)。

有 $4$ 个红球、$3$ 个蓝球和 $2$ 个绿球排成一排（相同色球视为完全相同），则不同的排列方案数为 $1260$ 种。

使用 math.h 或 cmath 头文件中的函数，对于 int 类型的变量 $x$，表达式 fabs(x) 和 sqrt(x * x) 的结果总是近似相等的。

运算符重载是 C++ 语⾔静态多态的一种典型体现，⽽使用 C 语⾔则无法实现运算符重载。

存在一个简单无向图满足：顶点数为 $6$，边数为 $8$，$6$ 个顶点的度数分别为 $3$、$3$、$3$、$3$、$2$、$2$。

已知两个 double 类型的变量 $r$ 和 $theta$ 分别表示一个扇形的圆半径及圆心角（弧度），则扇形的周长可以通过表达式 $(2+theta)\ast r$ 求得。

Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2)，其中 $n$ 为图中顶点的数量。

从 $32$ 名学生中选出 $2$ 人分别担任男生班长和女生班长（男生班长必须是男生，女生班长必须是女生），则共有 种不同的选法。

试题名称：最短距离

时间限制：1.0 s | 内存限制：512.0 MB

题目描述

给定正整数 $p,q$ 以及常数 N=1018N=10^{18}N=1018。现在构建一张包含 $N$ 个结点的带权无向图，结点依次以 $1,2,\dots ,N$ 编号。对于任意满足 $1\le u<v\le N$ 的 $u,v$，向图中加入一条连接结点 $u$ 与结点 $v$ 的无向边，边权取决于 $u,v$ 是否互质：

• 若 $u,v$ 互质（即 $u,v$ 的最大公因数为 $1$），则连接结点 $u$ 与结点 $v$ 的无向边长度为 $p$；
• 否则连接结点 $u$ 与结点 $v$ 的无向边长度为 $q$。

现在给定 $n$ 组询问，第 $i$（$1\le i\le n$）组询问给定两个正整数 ai,bia_i,b_iai​,bi​，你需要回答结点 aia_iai​ 与结点 bib_ibi​ 之间的最短距离。

输入格式

第一行，三个正整数 $n,p,q$，分别表示询问数量，结点编号互质时的边权，以及结点编号不互质时的边权。

接下来 $n$ 行，每行两个正整数 ai,bia_i,b_iai​,bi​，表示一组询问。

输出格式

输出共 $n$ 行，每行一个整数，表示结点 aia_iai​ 与结点 bib_ibi​ 之间的最短距离。

样例输入 #1

4 4 3
1 2
2 3
4 2
3 5

样例输出 #1

4
4
3
4

样例输入 #2

5 2 6
1 2
2 3
4 2
3 5
6 6

样例输出 #2

2
2
4
2
0

说明/提示

对于 $30\%$ 的测试点，保证 $1\le n\le 10$，1≤ai,bi≤501\le a_i,b_i\le 501≤ai​,bi​≤50。

对于另外 $30\%$ 的测试点，保证 1≤ai,bi≤2501\le a_i,b_i\le 2501≤ai​,bi​≤250。

对于所有测试点，保证 1≤n≤1041\le n\le 10^41≤n≤104，1≤ai,bi≤1091\le a_i,b_i\le 10^91≤ai​,bi​≤109，1≤p,q≤1091\le p,q\le 10^91≤p,q≤109。

试题名称：最小生成树

时间限制：1.0 s | 内存限制：512.0 MB

题目描述

给定一张包含 $n$ 个结点 $m$ 条边的带权连通无向图，结点依次以 $1,2,\dots ,n$ 编号，第 $i$ 条边（$1\le i\le m$）连接结点 uiu_iui​ 与结点 viv_ivi​，边权为 wiw_iwi​。

对于每条边，请你求出从图中移除该条边后，图的最小生成树中所有边的边权和。特别地，若移除某条边后图的最小生成树不存在，则输出 $-1$。

输入格式

第一行，两个正整数 $n,m$，分别表示图的结点数与边数。

接下来 $m$ 行中的第 $i$ 行（$1\le i\le m$）包含三个正整数 ui,vi,wiu_i,v_i,w_iui​,vi​,wi​，表示图中连接结点 uiu_iui​ 与结点 viv_ivi​ 的边，边权为 wiw_iwi​。

输出格式

输出共 $m$ 行，第 $i$ 行（$1\le i\le m$）包含一个整数，表示移除第 $i$ 条边后，图的最小生成树中所有边的边权和。若移除第 $i$ 条边后图的最小生成树不存在，则输出 $-1$。

样例输入 #1

5 5
1 2 4
2 3 3
3 4 1
2 5 2
3 1 8

样例输出 #1

14
15
-1
-1
10

样例输入 #2

6 10
1 2 6
2 3 3
3 1 4
3 4 5
4 5 8
5 6 2
6 4 1
3 2 4
5 4 4
3 3 6

样例输出 #2

15
16
17
-1
15
17
18
15
15
15

说明/提示

::cute-table{tuack}

对于所有测试点，保证 1≤n≤1051\le n\le 10^51≤n≤105，1≤m≤1051\le m\le 10^51≤m≤105，1≤ui,vi≤n1\le u_i,v_i\le n1≤ui​,vi​≤n，1≤wi≤1091\le w_i\le 10^91≤wi​≤109。